计算机科学数学理论浅谈

（1）抽象代数（Abstract Algebra）研究的主要内容涵盖群、环、域。抽象代表的是将研究对象的本质提炼出来，加以高度概括，来描述其形象。“欧式环”就是在将整数和多项式的一些相同的特点加以综合提炼引入的。抽象代数提供的一些结论为我们研究一些具体问题时所需使用的一些性质提供了依据。推荐一个最简单的，最容易学的材料：http://www.math.miami.edu/~ec/book/这本《Introduction to Linear and Abstract Algebra》非常通俗易懂，而且把抽象代数和线性代数结合起来，对初学者来说非常理想。

（2）布尔代数（Boolean Algebra）是代数系统中最为基础的部分，也是最核心的基本理论。主要包括了集合的基本概念与运算，自对偶的公理系统。是数据表示的重要基础。相信大家都很清楚它的重要性。

（3）关系代数（Relational Algebra）应用也是极为广泛，比如数据库技术中的关系数据库的构建就要用到关系代数的相关理论。

（4）计算机代数（Computer Algebra）大家可能比较生疏，其实它研究的主要内容即是围绕符号计算与公式演算展开的。是研究代数算法的设计、分析、实现及其应用的学科。主要求解非数值计算，输入输出用代数符号表示。计算机代数的开发语言主要有：ALTRAN,CAMAL,FORMAL。主要应用于：射影几何，工业设计，机器人手臂运动设计。
    图论（Graph Theory）主要研究的内容包括：图的基本概念、基本运算、矩阵表示，路径、回路和连通性，二部图、平面图，树，以及网络流。图论的应用领域太过广泛，仅举两个例子：比如在计算机网络拓扑图的设计与结构描述中，就必须用到相当多的图的结构和基本概念。关于网络流更是在电流网络与信息网络的流量计算当中广泛应用。树的相关应用则无须多言了。
    组合学（Combinatorics）有两部分单独的研究领域：组合数学与组合算法。组合学问题的算法，计算对象是离散的、有限的数学结构。从方法学的角度，组合算法包括算法设计和算法分析两个方面。关于算法设计，历史上已经总结出了若干带有普遍意义的方法和技术，包括动态规划、回溯法、分支限界法、分治法、贪心法等。应用是相当广泛的,比如旅行商问题、图着色问题、整数规划问题。关于组合数学，主要研究的内容有：鸽巢原理、排列与组合、二项式系数容斥原理及应用，递推关系和生成函数、特殊计数序列、二分图中的匹配、组合设计。推荐Richard A.Brualdi的《Introductory Combinatorics》作为参考。

[三]数论（Number Theory）
   数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来更名为数论。它包括以下几个分支：
   初等数论是不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等方法来研究整数性质的数论分支。比如在数论界非常著名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。对于程序设计来说这部分也是相当有价值的，如果你对中国剩余定理比较清楚，利用它，你可以将一种表达式经过简单的转换后得出另一种表达式，从而完成对问题分析视角的转换。
   解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。是解决数论中比较深刻问题的强有力的工具。我国数学家陈景润在尝试解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的就是解析数论的方法。以素数定理为基础解决计算素数的问题及其算法实现应是我们多多关注的。
    代数数论是把整数的概念推广到一般代数数域上去，建立了素整数、可除性等概念。程序设计方面涉及的比较多的是代数曲线的研究，比如说椭圆曲线理论的实现。
    几何数论研究的基本对象是“空间格网”。空间格网就是指在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对计算几何学的研究有着重大的意义。几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
    总的说来，由于近代计算机科学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合学理论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅里叶变换等。如果你曾经系统的学习过数论算法，你会发现这个分支学科研究的一些基本问题对程序设计是相当有用的，比如说素数问题、素性测试、因子分解、最大公约数、模取幂运算、求解同余线性方程。其中的很多问题都是程序设计的基本问题。但这些问题都不能小视，举个例子来说吧，关于求最大公约数的程序，笔者曾经尝试的就可以采用循环语句结构和递归结构。另外，以大素数为基础的密码体系的建立是近些年数论算法广泛应用的一个重要的原因。原理是大素数的乘积重新分解因数十分困难。RSA公钥加密系统的构建就是基于这个原理的（三位发明人因此也获得了2002年美国计算机协会颁发的图灵奖）。

[四]计算理论（Theory of Computation）
    涉及的内容是科学计算非常重要的一部分分支，也是大家研究相当多的一部分。主要包括：算法学，计算复杂性，程序理论。
　  算法学（Algorithms）在计算机科学理论中有着举足轻重的地位。是解决很多数值型，非数值型问题的基础。记得一次学校接收招标项目，很多中小型软件厂商都无法完成一个软件的功能模块，就是因为当时他们对一个具体问题的算法不能做出正确的抽象，最后由我们学校数理学院的一支软件团队承担了这项任务，他们的最终报告体现出来，问题的解决策略只有通过人工神经元网络的反向传播算法。可见在比较有深度的程序设计中，算法的重要性更为突出。学习算法学要有一个长期的理论和实践的过程。遇到一个具体算法问题时,首先要通过自己描述的数学抽象步骤，看看自己以前有没有处理过这种问题。如果没有，很可能这个问题是多个算法的综合，或者是需要我们自己去构造算法。这就需要我们有扎实的算法功底，为了打好这个功底，推荐两套圣经级的书籍首先是Thomas H.Cormen等著的《Introduction to Algorithms》。对算法学习而言，这一本内容相当的全面。再深一点的就是大家作为常识都知道的《The Art of Computer Programming》，目前已经出版3册。两本书的价值大家应当都是清楚的。
    计算复杂性研究的内容很广，其中包括NP完全性理论，可计算性理论，自动机理论，形式语言理论（包括广泛应用于编译原理领域的文法，还包括Petri网论的相关内容）以及大家熟知的复杂性度量。时间复杂度、空间复杂度的计算是度量算法非常重要的参数，也是我们衡量程序优劣程度的重要依据。
    程序理论（Theory of programs）包含了形式语义学，程序验证和并发模型的研究。关于程序验证学习的重要性大家都很清楚，学习的方法自然也是多多结合具体的问题去分析。关于并发模型，主要研究的就是进程代数，通信系统演算，通信顺序进程。这部分是研究操作系统理论与实现的重要基础。
    按照计算机科学数学理论的架构来谈了各方面的内容和一些应用，下面我们再单独来看一些上面没有涉及到的学科与这些理论的具体结合情况：
    设计方面的应用刚才谈的很多，我只再说说数据库原理与技术，这方面用到的重要数学基础主要包括：集合论，二元关系及其推理（尤其是研究关系数据库），研究数据分布与数据库结构又涉及相当多的图论知识。
    计算机科学的发展有赖于硬件技术和软件技术的综合。在设计硬件的时候应当充分融入软件的设计思想，才能使硬件在程序的指挥下发挥极致的性能。在软件设计的时候也要充分考虑硬件的特点，才能冲破软件效率的瓶颈。达到硬件和软件设计的统一，严格的说这并不轻松，一般的程序设计者很难将这样的思想贯穿在其程序设计当中。仅举个简单的例子：我们在写一些C语言的程序，必要的时候都会采取内嵌一段汇编指令，这就是比较充分地考虑了硬件的工作情况，从而能够提高程序运行的效率。所以我们也有必要了解一些硬件的基础知识。关于学习硬件的时候常会用到的基本数学思想也是相当多的，拿电路基础与模拟电路来说，我们就经常要利用多元函数，不等式计算进行电流电压的计算。能量的计算还常常涉及微积分学的很多计算。在数字电子技术当中（有时也称数字逻辑学）数理逻辑，尤其是逻辑演算部分运用相当广泛，数制转换更是非常重要的基础，各种数字电路参数的计算则是多元函数，不等式的计算解决的问题。
    从事计算机硬件程序设计的程序员，则不可回避的就是数字信号处理。这门科学所用到的数学基础主要有：三角函数、微积分、高次方程求解、数值逼近，傅里叶变换。在滤波器的设计当中还会用到矩阵运算。笔者曾经研究过一个VC++环境下开发的滤波器的模拟软件，就是利用莱文逊-杜宾递推算法，在较大规模的矩阵运算基础上进行的。当然，开发的环境不一定是这个，你也可以选择MATLAB或者纯C语言编译器。如果我们不了解相关的数学基础，不要说程序设计，就算是建立运算模型都是相当困难的。

    一些周围的同学和一些在职的程序员，大家经过一段时间的学习，普遍都觉得数学对学习计算机和研究计算机程序设计等问题来说非常重要，但是又苦于无从下手。上面比较全面地谈及了计算机科学数学理论的相关内容。需要特别指明的是，我们研究问题的精力是有限的，如果您是在校的计算机系学生，则可以对上面的方方面面都有所涉及，以尝试计算数学这个强大的理论工具。为今后的工作奠定一个坚实的基础。但是如果您研究的是比较具体的工作，我们并不推荐您研究所有的内容，最好的方法就是对上面的数学基础都有些了解，然后遇到具体工作，需要哪部分内容，再进行深入的学习与研究。这样针对性比较强的学习效果是会比较显著的。对于上面推荐的一些参考材料，除非你要花相当长的一段时间来提高你的计算机数学理论。否则也没必要每一页，每一本都字字精读，还是那个原则，按需索取其中的内容。学习的方法描述起来就一句话：结合具体的问题，深入的理解数学理论知识，将理论程序化，尝试用程序设计实现理论原理。达到这样的程度，问题基本上都可以解决的。（限于篇幅，很多问题不能展开，您可以通过mailto:<a%20href='>zengyi@cstc.net.cn与我联系）

参考文献：
《计算机科学技术百科全书》中国计算机学会 清华大学出版社
《工程数学—线性代数》同济大学数学教研室 同济大学出版社
《数值分析》李庆扬 华中科技大学出版社

（全文完）